38AM63｜第38回 臨床工学技士国家試験 過去問

正答

5

この問題のポイント

この問題では、ラプラス変換の基本公式が問われています。

よく使う公式は次のとおりです。

• L{1} = 1/s
• L{e^(-at)} = 1/(s + a)
• L{e^(at)} = 1/(s - a)

指数関数の符号に注意します。

解説

ラプラス変換は、時間関数 f(t) を s の関数 F(s) に変換する方法です。

定義は次のように表されます。

• F(s) = ∫0∞ f(t)e^(-st) dt

ここで、f(t) = e^(-at) を代入します。

• F(s) = ∫0∞ e^(-at)e^(-st) dt

指数の部分をまとめます。

• e^(-at)e^(-st) = e^(-(s + a)t)

したがって、

• F(s) = ∫0∞ e^(-(s + a)t) dt

この積分を行うと、

• F(s) = 1/(s + a)

となります。

よって、e^(-at) のラプラス変換は**1/(s + a)**です。

ひっかけポイント
e^(-at) のマイナス符号に引っ張られて、分母を s - a としないように注意します。
ラプラス変換では e^(-st) が掛かるため、指数は -(s + a)t になります。

国家試験ではここを押さえる
ラプラス変換では、指数関数の符号を公式として覚えるのが効率的です。
e^(-at) は 1/(s + a)、**e^(at) は 1/(s - a)**です。

選択肢の確認

1．誤り。
s + a は、分母にくる形ではありません。e^(-at) のラプラス変換は 1/(s + a) です。

2．誤り。
as ではありません。指数関数のラプラス変換は、s と a の積ではなく、1/(s + a) の形になります。

3．誤り。
s/a ではありません。ラプラス変換の基本公式に合いません。

4．誤り。
a/(s + 1) は、e^(-t) に係数 a が付いた場合などと混同しやすい形です。e^(-at) の変換では、a は分母の s に加わり、1/(s + a) となります。

5．正しい。
e^(-at) のラプラス変換は、基本公式より 1/(s + a) です。

覚えるポイント

• ラプラス変換の定義は、F(s) = ∫0∞ f(t)e^(-st) dtです。
• e^(-at) に e^(-st) が掛かると、指数は -(s + a)t になります。
• **L{e^(-at)} = 1/(s + a)**です。
• **L{e^(at)} = 1/(s - a)**です。
• 指数関数のラプラス変換では、符号を最優先で確認します。