37PM62｜第37回 臨床工学技士国家試験 過去問

正答

3

この問題のポイント

この問題では、負帰還ブロック線図の閉ループ伝達関数が問われています。

図では、前向き経路に

• G(s) = K1 / {s(s+1)}

があり、出力から戻る帰還経路に

• H(s) = K2

があります。

加算点では、入力が「＋」、帰還信号が「−」で入っているため、これは負帰還系です。

負帰還系の伝達関数は、

• T(s) = G(s) / {1 + G(s)H(s)}

で求めます。

解説

図のブロック線図を順に読みます。

入力信号を R(s)、出力信号を Y(s) とします。

前向き経路のブロックは、

• G(s) = K1 / {s(s+1)}

です。

帰還経路のブロックは、

• H(s) = K2

です。

図の加算点では、入力 R(s) は正符号で入り、出力から戻ってきた信号 K2Y(s) は負符号で入ります。

したがって、前向きブロックへ入る信号は、

• R(s) - K2Y(s)

です。

この信号が前向きブロック G(s) を通って出力 Y(s) になるので、

• Y(s) = G(s) × {R(s) - K2Y(s)}

となります。

ここに G(s) = K1 / {s(s+1)} を代入してもよいですが、まず一般形で整理します。

• Y(s) = G(s)R(s) - G(s)K2Y(s)

Y(s) を含む項を左辺に集めます。

• Y(s) + G(s)K2Y(s) = G(s)R(s)

Y(s) でくくると、

• Y(s){1 + G(s)K2} = G(s)R(s)

したがって、伝達関数 T(s) = Y(s) / R(s) は、

• T(s) = G(s) / {1 + G(s)K2}

です。

ここで、

• G(s) = K1 / {s(s+1)}

なので、

• T(s) = K1/{s(s+1)} / {1 + K1K2/{s(s+1)}}

分母を通分します。

• 1 + K1K2/{s(s+1)}
• = {s(s+1) + K1K2} / {s(s+1)}

したがって、

• T(s) = K1/{s(s+1)} × {s(s+1)} / {s(s+1) + K1K2}
• T(s) = K1 / {s(s+1) + K1K2}

よって、選択肢3が正答です。

ひっかけポイント
負帰還では分母が 1 + G(s)H(s) になります。
加算点の帰還側が「−」なので、閉ループ伝達関数の分母は s(s+1) + K1K2 です。
「−」だから分母もマイナスにする、という考え方ではありません。

選択肢の確認

1．誤り。
K1K2/{s(s+1)} は、前向きブロックと帰還ブロックを単純に掛けた開ループ伝達関数 G(s)H(s) に相当します。閉ループ伝達関数ではありません。

2．誤り。
K1/{s(s+1)K2} は、K2 を単純に分母へ入れた形です。負帰還系では、K2 は G(s)H(s) として分母の加算項に入ります。

3．正しい。
負帰還系なので、T(s) = G(s)/{1+G(s)H(s)} を使います。
G(s) = K1/{s(s+1)}、H(s) = K2 より、T(s) = K1/{s(s+1)+K1K2} となります。

4．誤り。
K1K2/{s(s+1)-K1K2} は、正帰還のような形に近く、さらに分子も K1K2 になっています。図は負帰還であり、分母は s(s+1)+K1K2 です。

5．誤り。
s(s+1)/{s(s+1)+K1K2} は、分子が前向きブロックの逆数側になっています。出力は前向きブロック K1/{s(s+1)} を通った信号なので、分子は K1 になります。

覚えるポイント

• 前向き伝達関数を G(s)、帰還伝達関数を H(s) とおきます。
• 負帰還の閉ループ伝達関数は G(s)/{1+G(s)H(s)} です。
• 正帰還なら分母は 1-G(s)H(s) になります。
• この問題では、G(s) = K1/{s(s+1)}、H(s) = K2 です。
• よって、伝達関数は K1/{s(s+1)+K1K2} です。