37AM63｜第37回 臨床工学技士国家試験 過去問

正答

5

この問題のポイント

この問題では、複素数の偏角が問われています。

まず与えられた複素数を、実部と虚部が分かる形に変形します。そのあと、複素平面上の位置から偏角を求めます。

解説

求める複素数を z とします。

• z = (-√3 - j) / (2j)

分母に虚数単位 j があるため、分母が実数になるように -j をかけます。

• z = ((-√3 - j) × (-j)) / (2j × (-j))

分母は、

• 2j × (-j) = -2j²
• j² = -1 なので
• -2j² = 2

分子は、

• (-√3) × (-j) = √3j
• (-j) × (-j) = j² = -1

したがって、

• 分子 = -1 + √3j

よって、

• z = (-1 + √3j) / 2
• z = -1/2 + (√3/2)j

この複素数は、実部が負、虚部が正なので第2象限にあります。

また、

• cos θ = -1/2
• sin θ = √3/2

を満たす角は、

• θ = 2π/3

です。

したがって、偏角は 2/3π であり、選択肢5が正答です。

ひっかけポイント
複素数の偏角では、符号から象限を必ず確認します。実部が負、虚部が正なら第2象限です。角度は 1/3π ではなく 2/3π になります。

選択肢の確認

1．誤り。
−π は負の実軸方向を表します。この複素数は虚部が正で第2象限にあるため、−πではありません。

2．誤り。
−2/3π は第3象限方向を表す角です。今回の複素数は実部が負、虚部が正なので第2象限です。

3．誤り。
−1/3π は第4象限方向の角です。今回の複素数の虚部は正であり、第4象限ではありません。

4．誤り。
1/3π は第1象限方向の角です。今回の複素数は実部が負なので第1象限ではありません。

5．正しい。
z = -1/2 + (√3/2)j となり、第2象限にあります。偏角は 2π/3、つまり 2/3π です。

覚えるポイント

• 偏角を求める前に、複素数を 実部 + 虚部 × j の形にします。
• j² = -1 です。
• 実部が負、虚部が正なら第2象限です。
• cos θ = -1/2、sin θ = √3/2 の角は 2π/3 です。
• 複素数では、計算後に必ず象限を確認します。